Pilhøjde

For både cirkeludsnittet og cirkelbuen fastlægges korden, \(k\), som linjestykket, der forbinder cirkelbuens to endepunkter. Vinkelhalveringslinjen for cirkeludsnittet/cirkelbuen er samtidig midtnormal til korden, \(k\), dvs. den står vinkelret på korden og deler den i to lige store dele, se figur 4.

Pilhøjden defineres som afstanden – målt langs vinkelhalveringslinjen – fra korden, \(k\), til cirkelperiferien.

 

 Figur 4          Pilhøjde for et cirkeludsnit/en cirkelbue

Det ses af figuren, at pilhøjden er givet ved  \( r – r\cdot\cos(\frac{v}{2}) = r\cdot (1-\cos(\frac{v}{2}))\),

hvor \(0<v\leq 180^\circ\) eller \(0<v\leq\pi\)

Nogle taleksempler:

\(v\)	Pilhøjde
\(30^\circ=\frac{\pi}{6}\)	\(r\cdot (1-\cos(15^\circ)) = 0,034\cdot r\)
\(45^\circ=\frac{\pi}{4}\)	\(r\cdot (1-\cos(22,5^\circ)) = 0,076\cdot r\)
\(60^\circ=\frac{\pi}{3}\)	\(r\cdot (1-\cos(30^\circ)) = r\cdot (1-\frac{\sqrt{3}}{2}) = 0,134\cdot r\)
\(90^\circ=\frac{\pi}{2}\)	\(r\cdot (1-\cos(45^\circ)) = r\cdot (1-\frac{\sqrt{2}}{2}) = 0,293\cdot r\)
\(120^\circ=\frac{2\pi}{3}\)	\(r\cdot (1-\cos(60^\circ)) = r\cdot (1-\frac{1}{2}) = 0,5\cdot r\)
\(135^\circ=\frac{3\pi}{4}\)	\(r\cdot (1-\cos(67,5^\circ)) = 0,617\cdot r\)
\(150^\circ=\frac{5\pi}{6}\)	\(r\cdot (1-\cos(75^\circ)) = 0,741\cdot r\)
\(180^\circ=\pi\)	\(r\cdot (1-\cos(90^\circ)) = r\cdot (1-0) = r\)

 

Området mellem cirkelbuen og korden, \(k\), betegner vi \(M\), se figur 5. 

 

Figur 5          Areal af område mellem cirkelbue og korde

Arealet af \(M\) kan beregnes som arealet af hele cirkeludsnittet hørende til cirkelbuen fratrukket arealet af trekanten under korden, \(k\). I trekanten under korden, \(k\), er grundlinjen \(g = 2\cdot r\cdot\sin(\frac{v}{2})\) og højden \(h = r\cdot\cos(\frac{v}{2})\), og dermed er arealet af trekanten under korden: 
\(A_k = \dfrac{1}{2}\cdot g\cdot h = r^2\cdot\sin(\frac{v}{2})\cdot\cos(\frac{v}{2})\).

Hvis vinklen, v, angives i grader (\(0<v\leq 180^\circ\)), er arealet af \(M\) :

\(A_M = A_{udsnit}  –  A_k = \dfrac{v}{360}\cdot\pi\cdot r^2 – r^2\cdot\sin(\frac{v}{2})\cdot\cos(\frac{v}{2})\)

\(= \pi\cdot r^2\cdot (\dfrac{v}{360} - \dfrac{1}{\pi}\cdot \sin(\frac{v}{2})\cdot \cos(\frac{v}{2}))\)

Hvis vinklen, v, angives i radianer (\(0<v\leq\pi\)), er arealet af \(M\):

\(A_M = A_{udsnit}  –  A_k = \dfrac{v}{2}\cdot r^2 - r^2\cdot\sin(\frac{v}{2})\cdot\cos(\frac{v}{2})\)

\(= r^2\cdot (\dfrac{v}{2}-\sin(\frac{v}{2})\cdot\cos(\frac{v}{2}))\)