Mængdebyggeren og symboler
En mængde er en veldefineret samling af elementer, f.eks. mængden af Matematikcenter lektiecafeer i København, mængden af elever i en given klasse eller mængden af primtal mellem 1 og 100. Man angiver ofte en mængde med et stort bogstav og mængdens elementer ved små bogstaver. Rækkefølgen af elementerne i mængden er ligegyldig. Et eksempel på en mængde er;
\(M:= {1,2,3,4,\{5,6\}}\)
Symbolet \(:=\) betyder, at \(M\) bliver defineret ved \({ 1,2,3,4,\{5,6\} }\). Vi kan se, at antallet af elementer for \(M\) er 5, nemlig 1, 2, 3, 4 og \(\{5,6\}\). Ud fra det kan vi fx sige, at:
\(1 \in M \qquad 4 \in M \qquad \{ 5,6\} \in M \qquad 6 \notin M\)
Symbolet \( \in\) betyder "tilhører" og \(\notin\) betyder "tilhører ikke". Det vil sige, at 1, 4 og \(\{5,6\}\) tilhører mængden \(M\), mens 6 tilhører ikke mængden \(M\). Med andre ord betyder "\( \in\)" "er element i en mængde", og " \(\notin\)" betyder "er ikke element i en mængde".
En mere korrekt og fancy måde at skrive mængder op på er denne:
$$M = \{\underbrace{\cdots \cdots \cdots}_{\substack{\textit{Grundmængde}}} | \underbrace{\cdots \cdots \cdots }_{\substack{\textit{ligning}}} \}$$
Denne notation kaldes også for mængdebyggeren.
Et eksempel kunne være:
$$M = \{ x \in \mathbb{N} | x \textit{ er lige tal} \}$$
\( \mathbb{N}\) er alle de naturlige tal, men fx ikke de negative tal, dvs. 1, 2 ,3,.... Symbolet | læses som "der opfylder" eller "for hvilket det gælder".
Hvis vi vil nu skrive mængden \(M\), så vil det være ved
$$M = \{ x \in \mathbb{N}| x \textit{ er lige tal} \} = \{ 2,4,6,8,10,....\}$$
da vi ved, at elementer eller grundmængden i mængden \(M\) kun er de naturlige, lige tal.
| Definition: |
| Grundmængden er de værdier af x, som det er tilladt at bruge som løsning til en ligning |
Hvis vi kigger på en af de ligninger, vi så på tidligere, kan vi skrive løsningsmængden som
$$L = \{ x \in \mathbb{R} | -2x -2 = 14 \}$$
Det læses som "Løsningsmængden \(L\) er lig med mængden af elementer \(x\) tilhørende \( \mathbb{R}\) (de reelle tal), for hvilke det gælder at \(-2x -2 = 14\). Løsningsmængden skrives som \(L = \{ -8 \}\).
Når vi arbejder med uligheder vil løsningsmængden være mere end et element. Eksempelvis kan løsningsmængden være alle x-værdier større end 2, der skrives som:
$$L = \{ x \in \mathbb{R} | x > 2 \}$$
eller alle x-værdier mellem 2 og 5, der skrives som:
$$L = \{ x \in \mathbb{R} | x > 2 \wedge x < 5 \}$$
Symbolet \(\wedge\) betyder "og", mens det omvendte symbol \(\vee\) betyder "eller".
Til at beskrive sådanne løsningsmængder benytter vi intervaller. Et interval er en mængde af reelle tal mellem to værdier. Intervaller kan være lukkede (indeholder talværdierne i intervallets endepunkter) eller åbne (indeholder ikke talværdierne i intervallets endepunkter).
Et lukket interval er lukket i begge ender og skrives : [x,y]. Intervallet indeholder x og y.
Et åbent interval er åbent i begge ender og skrives: ]x,y[. Intervallet indeholder værdier uendeligt tæt på x og y, men ikke x og y.
Et interval kan også være lukket i den ene ende og åbent i den anden ende - eller omvendt: [x,y[ eller ]x,y]. Disse intervaller kaldes halvåbne intervaller.
Hvis vi kigger på de forrige løsningsmængder, kan vi skrive dem som intervaller. Lad os se på det åbne interval \(]2, 5[\), som indeholder de reelle tal mellem 2 og 5. At intervallet er åbent, betyder, at tallene 2 og 5 ikke er en del af løsningsmængden, men alle tal større end 2 og alle tal mindre end 5 er med i løsningsmængden.
Det lukkede interval \([2, 5]\) indeholder ligeledes de reelle tal mellem 2 og 5, men her er tallene 2 og 5 en del af løsningsmængden.
Intervaller kan illustreres ved at indtegne mængden på en tallinje. Lad os prøve det:
$$ L1 = \{ x \in \mathbb{R} | x > 2 \} = ]2,\infty [ $$
$$ L2 = \{ x \in \mathbb{R} | x > 2 \wedge x < 5 \} = ]2,5[$$
L1 er vist med den nederste streg over tallinjen og L2 er vist med den øverste streg over tallinjen. Tegningen gør det måske nemmere at forstå intervallerne.
Endepunktet i et interval tegnes med en åben bolle, hvis talværdien ikke er en del af mængden, og med en udfyldt bolle, hvis talværdien er en del af mængden.