Eksponentiel vækst

En vigtig type differentialligning er på formen

$$y'=ky.$$

Nogle gange optræder den på formen

$$\frac{y'}{y}=k,$$

men det ses let, at de to differentialligninger er ens (man skal bare gange med \(y\) på begge sider af lighedstegnet).

Eksempler på denne type differentialligninger er

$$y'=2y,\qquad \frac{y'}{y}=8,\qquad \frac{dy}{dx}=17y$$

Den fuldstændige løsning til denne type differentialligning er

$$y=f(x)=ce^{kx}$$

Eksempel

Hvis vores ligning havde været

$$y'=2y$$

så ville den fuldstændige løsning være

$$y=f(x)=ce^{2x}$$

Hvis vi oveni havde fået begyndelsesbetingelsen \(y(0)=8\), kunne vi bestemme \(c\) således

$$ 8 = ce^{2\cdot0} \qquad \Leftrightarrow \qquad c = 8 .$$

Altså ville den partikulære løsning være

$$y=f(x)=8e^{2x}$$

Vi ser at løsningerne til differentialligningen er eksponentialfunktioner med startværdi \(c\) og fremskrivningsfaktor \(e^k\).

Derfor siger man, at disse differentialligninger beskriver eksponentiel vækst.

Videolektion

Har du en kommentar til indholdet på denne side? Send os en mail!