Kuglen

Ligesom man i 2D arbejdede med cirkler, arbejder man i 3D med kugler. Når man siger, at et punkt ligger på en kugle, betyder det, at punktet ligger på kugleskallen (og altså ikke indeni kuglen).

Kuglens ligning er givet ved

$$(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=r^2$$

hvor (a, b, c) er kuglens centrum, og r er kuglens radius.

Man kan aflæse kuglens centrum og radius ud fra ligningen.

For eksempel har kuglen med denne ligning

$$(x-2)^2+(y+3)^2+(z-1)^2=64$$

radius 8 og centrum i punktet (2, -3, 1) (vær opmærksom på fortegnene!).

Hvorfor ser ligningen sådan ud?

Lad os se lidt på, hvordan man er kommet frem til denne ligning.

Lad os antage at et punkt P(x,y,z) ligger på kuglen. Så må der gælde, at afstanden mellem punktet og centrum er lig med radius.

$$|CP|=r$$

Det svarer til, at længden af vektoren mellem de to punkter er lig med radius

$$|\overrightarrow{CP}|=r$$

Da vektoren mellem to punkter er slutpunktet fratrukket startpunktet, kan vi omskrive ovenstående til

$$\left|\begin{pmatrix}x-a\\y-b\\z-c\end{pmatrix}\right|=r$$

Nu udregner vi længden af vektoren

$$\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2}=r$$

Ved at sætte begge sider i anden potens får vi kuglens ligning.

Omskrive kuglens ligning

Det er ikke altid, man får kuglens ligning givet på formen ovenfor. Nogle gange er parenteserne ganget ud (ved hjælp af kvadratsætningerne). I det tilfælde kan man ikke direkte aflæse centrum og radius.

I dette afsnit skal vi se, hvordan man omformer tilbage til standardformen, så man kan aflæse centrum og radius direkte. Metoden man bruger, kaldes kvadratkomplettering, og vi har tidligere brugt den til at løse andengradsligninger.

Lad os illustrere metoden med et eksempel.

Vores kugle er givet ved

$$x^2+y^2+z^2+6x-2y+4z=2$$

Det først vi gør er at rykke rundt, så vi samler hhv x'erne, y'erne og z'erne

$$x^2+6x+y^2-2y+z^2+4z=2$$

Nu er tricket at samle leddene med x'erne vha. en kvadratsætning. Vi kan se, at det ene tal i parentesen må være x. Vi betragter 6x som det dobbelte produkt (2*3*x). Derfor må det andet tal i parentesen være 3. Før vi kan samle det, kræver det dog, at vi lægger 3² til på begge sider.

$$x^2+{\color{Red} {3^2}}+6x+y^2-2y+z^2+4z=2+{\color{Red}{ 3^2}}$$

Nu kan vi samle de første tre led vha. en kvadratsætning

$$ {\color{Red} {(x+3)^2}}+y^2-2y+z^2+4z=2+3^2$$

Nu gør vi det samme med y-leddene. -2y er det dobbelte produkt (2*(-1)*y). Derfor må tallene i parentesen være y og -1. Derfor lægger vi (-1)² til på begge sider.

$$(x+3)^2+y^2+{\color{Red} {(-1)^2}}-2y+z^2+4z=2+3^2+{\color{Red}{ (-1)^2}}$$

Nu samler vi y-leddene ved brug af kvadratsætningerne

$$(x+3)^2+{\color{Red} {(y-1)^2}}+z^2+4z=2+3^2+(-1)^2$$

Til sidst gør vi det samme med z-leddene. 4z er det dobbelte produkt (2*2*z). Så tallene i parentesen må være z og 2. Vi lægger 2² til på begge sider.

$$(x+3)^2+(y-1)^2+z^2+{\color{Red} {2^2}}+4z=2+3^2+(-1)^2+{\color{Red} {2^2}}$$

Nu samler vi ved hjælp af kvadratsætningerne

$$(x+3)^2+(y-1)^2+{\color{Red} {(z+2)^2}}=2+3^2+(-1)^2+2^2$$

Hvis vi regner højresiden ud, står vi med ligningen

$$(x+3)^2+(y-1)^2+(z+2)^2=16$$

Nu har vi omformet til standardformen og kan aflæse kuglens centrum til (-3, 1, -2) og radius til 4.