Længde af en kurve givet ved en vektorfunktion

Fra afsnittet om differentiering af vektorfunktion ved vi, at farten til tiden \(t=t_0\) er:

\(|\overrightarrow{v(t_0)}|=\sqrt{x’(t_0)^2+y’(t_0)^2}\)

og længden af banekurven, der gennemløbes i tiden \(dt\), er derfor:

\(dL=\sqrt{x’(t)^2+y’(t)^2}\cdot dt\)

Længden af banekurven gennemløbet i perioden fra tiden \(t=a\) til tiden \(t=b\) finder vi ved at integrere \(dL\):

\(\displaystyle L = \int_{t=a}^{t=b}\:dL = \int_a^b \sqrt{x’(t)^2+y’(t)^2}\:dt\)

Eksempel 1

Beregn for den liggende parabel, se figur 9 i afsnit 3, længden af den del af banekurven, der ligger i 2. og 3. kvadrant. 

\(\overrightarrow{r(t)}=(x(t),y(t))=(2t^2+4t-16, t)\) og dermed

\(\overrightarrow{v(t)}= (x’(t),y’(t))=(4t+4, 1)\)

Den del af banekurven, der ligger i 2. og 3. kvadrant, for­løber mellem de to skæringspunkter med y-aksen. Vi har tidligere set, at disse svarer til t-værdierne – 4 og 2, som dermed er vores integrations­grænser:

\(\displaystyle L = \int_{-4}^2 \sqrt{x’(t)^2+y’(t)^2}\:dt = \int_{-4}^2 \sqrt{16t^2+32t+17}\:\:dt\)

Integralet beregnes vha. et CAS-værktøj og giver 36,9.

 Eksempel 2

Beregn for Archimedes spiral, se figur 11 i afsnit 5, længden af bane­kurven fra \(t=0\) og indtil første positive skærings­punkt med x-aksen.

\(\overrightarrow{r(t)}=(x(t),y(t))=(2t\cos(t), 2t\sin(t))\)og dermed

\(\overrightarrow{v(t)}=(x’(t),y’(t))=(2\cos(t)-2t\sin(t), 2\sin(t)+2t\cos(t))\)

Første positive skæringspunkt med x-aksen er for \(t=2\pi\), så integrationsgrænserne er 0 og \(2\pi\):

\(\displaystyle L = \int_0^{2\pi} \sqrt{x’(t)^2+y’(t)^2}\:dt = \int_0^{2\pi} \sqrt{4t^2+4}\:\:dt = 2\: \int_0^{2\pi} \sqrt{t^2+1}\:\:dt\)

Integralet beregnes vha. et CAS-værktøj og giver 21,3. 

Har du en kommentar til indholdet på denne side? Send os en mail!