Differentiation af vektorfunktion

Hvis vi betragter kurven hørende til en vektorfunktion som en partikels bevægelsesbane, kan vi være interesserede i at bestemme partiklens hastighed og acceleration.

Her benytter vi vores viden om differentiation af funktioner. Vi antager, at både \(x(t)\) og \(y(t)\) i parameterfremstillingen er differentiable mht. \(t\).

I figur 12 ser vi på partiklens position til tiden \(t_0\) og \(t_0+dt\). Da både \(x(t)\) og \(y(t)\) er differentiable mht. \(t\), gælder:

\(x’(t)=\dfrac{dx}{dt}\) og \(y’(t)=\dfrac{dy}{dt}\)

Ved at gange igennem med \(dt\) fremkommer:

\(dx=x’(t)\cdot dt\) og \(dy=y’(t)\cdot dt\)

Figur 12    Differentiation af vektorfunktion

Vi kan bestemme kurvens hældning – og dermed tangentens hældning – i punktet \((x_0,y_0)\):

hældning \(= \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{y’(t_0)}{x’(t_0)}\)

Vi kan bestemme partiklens hastighedsvektor, som også er retningsvektor for tangenten til banekurven:

\(\overrightarrow{v(t_0)}=(x’(t_0), y’(t_0))\)

Partiklens fart er da længden af hastighedsvektoren:

\(|\overrightarrow{v(t_0)}|=\sqrt{x’(t_0)^2+y’(t_0)^2}\)

Fra bevægelseslæren ved vi, at accelerationen fremkommer ved differentiering af hastigheden, så partiklens accelera­tionsvektor er:

\(\overrightarrow{a(t_0)}=(x’’(t_0), y’’(t_0))\)

og længden af accelerationsvektoren er:

\(|\overrightarrow{a(t_0)}|=\sqrt{x’’(t_0)^2+y’’(t_0)^2}\)

Eksempel 1

For en cirkulær banekurve med centrum i (0,0) er:

\((x(t),y(t))=(r\cdot\cos(\omega t), r\cdot\sin(\omega t))\) og

\((x’(t),y’(t))=(-\omega r\cdot\sin(\omega t), \omega r\cdot\cos(\omega t))\) og

\((x’’(t),y’’(t))=(-\omega ^2r\cdot\cos(\omega t), -\omega ^2r\cdot\sin(\omega t))\), hvor

\(r\) er radius (meter), vinkelhastigheden \(\omega = \frac{2\pi}{T}\) (rad/sek) og \(T\) er omløbstiden (sek).

Partiklens hastighed er konstant og følger overalt tan­gentens retning, der er vinkelret på radius til partiklens aktuelle position:

\(|\overrightarrow{v(t)}|=\sqrt{x’(t)^2+y’(t)^2}=\omega\cdot r\) (m/s)

Partiklens acceleration er ligeledes konstant og har retning fra partiklens aktuelle position ind mod cirklens centrum med længden:

\(|\overrightarrow{a(t)}|=\sqrt{x’’(t)^2+y’’(t)^2}=\omega ^2\cdot r\) (m/s²)

Eksempel 2

For en ellipseformet banekurve med centrum i (0,0) er:

\((x(t),y(t))=(a\cdot\cos(\omega t), b\cdot\sin(\omega t))\) og

\((x’(t),y’(t))=(-\omega a\cdot\sin(\omega t), \omega b\cdot\cos(\omega t))\) og

\((x’’(t),y’’(t))=(-\omega ^2a\cdot\cos(\omega t), -\omega ^2b\cdot\sin(\omega t))\), hvor

\(a,b\) er ellipsebanens akser (meter) i hhv. x-retningen og y-retningen, den gennemsnitlige vinkelhastighed \(\omega = \frac{2\pi}{T}\) (rad/sek) og \(T\) er omløbstiden (sek).

Bemærk, at accelerationsvektoren - ligesom for cirklen - har retning fra partiklens aktuelle position ind mod ellipsens centrum.

Partiklens hastighed og acceleration er:

\(|\overrightarrow{v(t)}|=\sqrt{x’(t)^2+y’(t)^2}=\omega\cdot a\cdot\sqrt{\sin^2(\omega t)+(\dfrac{b}{a})^2\cdot\cos^2(\omega t)}\) (m/s)

\(|\overrightarrow{a(t)}|=\sqrt{x’’(t)^2+y’’(t)^2}=\omega^2\cdot a\cdot\sqrt{\cos^2(\omega t)+(\dfrac{b}{a})^2\cdot\sin^2(\omega t)}\) (m/s²)

Partiklens hastighed er størst omkring lilleaksens poler (hvis \(a>b\): på y-aksen i hhv. \(+b\) og \(-b\)), og partiklens acceleration er størst omkring storaksens poler (hvis \(a>b\): på x-aksen i hhv. \(+a\) og \(-a\)).