Gøre prøve

Ofte bliver man ikke bedt om at finde en løsning til en differentialligning, men bliver i stedet præsenteret for en funktion og spurgt om den løser differentialligningen.

Metoden til at bestemme dette kaldes "at gøre prøve".

Den går simpelthen ud på at indsætte funktionen på hhv. venstre- og højresiden og se om det giver det samme.

Eksempel

Vi ønsker at undersøge om ligningen

$$f(x)=2e^{16x}$$

er en løsning til differentialligningen

$$y'=16y.$$

Først differentierer vi \(f\).

$$f'(x)=16\cdot2\cdot e^{16x}=32e^{16x}$$

Først udregner vi venstresiden.

$$V:\quad f'(x)=32e^{16x}$$

og så udregner vi højresiden

$$H:\quad16\cdot f(x)=16\cdot\underbrace{2e^{16x}}_{f(x)}=32e^{16x}$$

Da højre- og venstresiden er ens, betyder det, at funktionen \(f\) er en løsning til differentialligningen.

Eksempel 2

Afgør om

$$g(x)=2+5e^{-3x}$$

er en løsning til differentialligningen

$$y'-6=-3y.$$

Før vi indsætter \(g\) i differentialligningen, differentierer vi den lige

$$g'(x)=-3\cdot5e^{-3x}=-15e^{-3x}.$$

Så gør vi prøve på samme måde som før, ved først at indsætte på venstresiden, så på højresiden og til sidst sammenligner vi resultater

$$V:\quad g'(x)-6=-15e^{-3x}-6,$$

$$H:\quad -3\cdot g(x)=-3\cdot(2+5e^{-3x})=-6-15e^{-3x}.$$

Da venstre- og højresiden er ens, betyder det, at \(g\) er en løsning til differentialligningen.


Videolektion

Har du en kommentar til indholdet på denne side? Send os en mail!