Længde af vektor

Når vi skal beregne længden af en vektor i 3D, bruger vi en formel der minder meget om 2D-formlen

$$|\overrightarrow{a}|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}$$

Som et eksempel kan vi udregne længden af vektoren med koordinaterne 2, 4 og 6.

$$\left | \begin{pmatrix}2\\4\\6\end{pmatrix} \right |=\sqrt{2^2+4^2+6^2}=\sqrt{4+16+36}=\sqrt{56}\approx7,48$$

Hvis vi skal forklare, hvorfor formlen ser sådan ud, skal vi holde tungen lige i munden og gøre brug af Pythagoras to gange.

3-27

Fra slutpunktet af vektor a går vi lodret ned indtil vi når ned i samme højde som startpunktet. Dette punkt kalder vi B. Vi tegner vektoren b mellem startpunktet for vektor a og punktet B.

Nu kan vi se, at vektor a udgør hypotenusen i en retvinklet trekant (lyserød) med vektor b som den ene katete, og a3 som den anden. Altså kan vi udregne længden af vektor a, hvis vi bare kender længden af vektor b.

Vektor b udgør imidlertid hypotenusen i en anden retvinklet trekant (lyseblå) med kateterne a1 og a2. Derfor kan vi udregne længden af vektor b vha. Pythagoras.

$$|\overrightarrow{b}|^2=|a_1|^2+|a_2|^2\\|\overrightarrow{b}|^2=a_1^2+a_2^2$$

Grunden til at vi brugte numeriske tegn om a1 og a2 var, at vi skulle bruge længderne af kateterne, og vi ikke vidste om koordinaterne var positive eller negative. Når vi sætter i anden, får vi imidlertid altid et positivt tal, hvorved vi kan ophæve de numeriske tegn.

Nu kan vi bruge Pythagoras til at udregne længden af vektor a

$$\overrightarrow{a}|^2={\color{Gray} |\overrightarrow{b}|^2}+|a_3|^2$$

$$={\color{Gray} a_1^2+a_2^2}+|a_3|^2$$

$$=a_1^2+a_2^2+a_3^2$$

$$|\overrightarrow{a}|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}$$

Har du en kommentar til indholdet på denne side? Send os en mail!