Separation af variable
Separation af variable er en metode til at løse differentialligninger, hvor y' er ganget med en funktion, der har med y at gøre.
Vi taler om differentialligninger på formen
$$y'\cdot f(y)=g(x)$$
Nogle eksempler på denne type differentialligninger er
$$\sin(y)\cdot y'=5x^2$$
$$\frac{1}{y}\cdot y'=\cos(x)+8$$
$$(y^2+7\ln(y))\cdot y'=\frac{\cos(x)}{e^x}$$
Man kan også være ude for, at man skal rykke lidt rundt på differentialligningen for at få den på den rigtige form.
Havde vi f.eks. differentialligningen
$$y'=y^3\cdot x^2$$
så kunne vi rykke y3 hen på venstre side (ved at dividere med det på begge sider af lighedstegnet).
Så ville vi få denne ligning:
$$\frac{1}{y^3}\cdot y'=x^2$$
Her er f(y)=1/y3, og g(x)=x2.
Separation af variable går ud på, at man må integrere på begge sider af lighedstegnet. Man integrerer f(y) mht y, og g(x) mht x.
$$\\f(y)\cdot y'=g(x)\quad\Rightarrow\quad \int f(y)\:dy=\int g(x)\:dx\\$$
Bemærk, at y' forsvinder, når vi integrerer.
Hvorfor ser formlen sådan ud?
Formlen bliver lettere at huske, hvis man omskriver y' på denne måde:
$$y'=\frac{dy}{dx}$$
Så siger vores differentialligning
$$f(y)\cdot\frac{dy}{dx}=g(x)$$
Vi integrerer mht x på begge sider
$$\int f(y)\cdot\frac{dy}{dx}\:dx=\int g(x)\:dx$$
Ligesom ved substitutionsmetoden lader vi som om
$$\frac{dy}{dx}$$
er en brøk, selvom det bare er et symbol.
$$\int f(y)\cdot\frac{dy}{ {\color{Red} d}{\color{Red} x}}\:{\color{Red} d}{\color{Red} x}=\int g(x)\:dx$$
Nu går de to røde dx'er ud med hinanden, og vi står tilbage med
$$\int f(y)\:dy=\int g(x)\:dx$$
Ovenstående er ikke et bevis, men snarere en slags argumentation for, hvorfor formlen ser ud, som den gør.
Lad os nu i stedet prøve at bruge formlen i praksis.
Eksempler
Eksempel 1
Vores differentialligning er
$$y^2\cdot y'=3x^2+5$$
Her er f(y)=y2 og g(x)=3x2+5
Nu må vi integrere venstresiden (pånær y') mht y og højresiden mht x.
$$\int y^2\:dy=\int 3x^2+5\:dx$$
Vi udregner integralerne og får
$$\frac{1}{3}y^3=x^3+5x+c$$
Man behøver ikke sætte en integrationskonstant på hver side. Det er nok, at sætte den på højresiden.
Vi er interesserede i at bestemme y, så der er stadig lidt arbejde tilbage med at isolere y.
Først ganger vi ligningen igennem med 3.
$$y^3=3x^3+15x+c$$
Det er ligegyldigt at gange konstanten med 3, da en konstant ganget med en konstant bare giver en ny konstant.
Nu tager vi kubikroden (den tredje rod) på begge sider af lighedstegnet:
$$y=\sqrt[3]{3x^3+15x+c}$$
og nu har vi vores løsning.
Eksempel 2
Et andet eksempel er differentialligningen
$$y'=2x\cdot y$$
Vi starter med at rykke y hen på venstresiden:
$$\frac{1}{y}\cdot y'=2x$$
Nu integrerer vi på begge sider
$$\int\frac{1}{y}\:dy=\int2x\:dx$$
Ved at udregne begge integraler, får vi
$$\ln(|y|)=x^2+c$$
For at komme af med den naturlige logaritme, husker vi på, at ex og ln(x) er omvendte funktioner. Så vi sætter venstre- hhv. højresiden som eksponenter i potenser
med e som grundtal.
$$e^{\ln(|y|)}=e^{x^2+c}$$
Da e og ln "spiser hinanden" har vi kun |y| tilbage på venstresiden:
$$|y|=e^{x^2+c}$$
Nu husker vi på vores potensregneregler, og omskriver højresiden
$$|y|=e^{x^2}\cdot e^c$$
Nu ophæver vi de numeriske tegn ved at sætte et "plus-minus"-tegn på højresiden
$$y=\pm e^c\cdot e^{x^2}$$
Til sidst ser vi, at ec bare er en (positiv) konstant. Og når vi tager plus-minus-tegnet med, så får vi bare, at det kan skrives som en vilkårlig konstant, k. Derfor er løsningen
$$y=k\cdot e^{x^2}$$