Eksponentiel vækst
En vigtig type differentialligning er på formen
$$y'=ky.$$
Nogle gange optræder den på formen
$$\frac{y'}{y}=k,$$
men det ses let, at de to differentialligninger er ens (man skal bare gange med \(y\) på begge sider af lighedstegnet).
Eksempler på denne type differentialligninger er
$$y'=2y,\qquad \frac{y'}{y}=8,\qquad \frac{dy}{dx}=17y$$
Den fuldstændige løsning til denne type differentialligning er
$$y=f(x)=ce^{kx}$$
Eksempel
Hvis vores ligning havde været
$$y'=2y$$
så ville den fuldstændige løsning være
$$y=f(x)=ce^{2x}$$
Hvis vi oveni havde fået begyndelsesbetingelsen \(y(0)=8\), kunne vi bestemme \(c\) således
$$ 8 = ce^{2\cdot0} \qquad \Leftrightarrow \qquad c = 8 .$$
Altså ville den partikulære løsning være
$$y=f(x)=8e^{2x}$$
Vi ser at løsningerne til differentialligningen er eksponentialfunktioner med startværdi \(c\) og fremskrivningsfaktor \(e^k\).
Derfor siger man, at disse differentialligninger beskriver eksponentiel vækst.