Konfidensintervaller for parametre
Konfidensinterval for parametre
Vi har tidligere behandlet konfidensintervaller for middelværdier og sandsynslighedparameteren. Man kan også bestemme konfidensintervaller for regressionskoefficienterne. Faktisk er de en del af output, når man bruger Excel til regressionsanalyse. Kig igen på tabellen som indeholdt regressionskoefficienterne. Der er nogle kolonner med overskriften "Lower 95%'' og "Upper 95%''. Tallene i disse kolonner er nedre og øvre grænse for et \(100\% - 95\% = 5\%\) konfidensinterval omkring regressionskoefficienterne.
Det kan være lidt forvirrende, at kolonnerne "Lower 95%'' og "Upper 95%'' er gentaget to gange med samme værdier. Hvis du kigger på menuen i figuren her, kan du se, at man kan sætte kryds i "Confidence Level'' og indtaste et konfidensniveau. Hvis man gør dette med fx 1% så får man kolonnerne "Lower 95%'' og "Upper 95%'' samt "Lower 99%'' og "Upper 99%''. Derfor får man som udgangspunkt altid 5% konfidensinterval med som resultat og derudover kan man få et ekstra interval efter eget valg.
Formel for konfidensinterval
Formel for \(1 - \alpha\) konfidensintervallet for de enkelte regressionskoefficienter er
\(
b_i \pm t(v, 1 - \alpha / 2) \textrm{se}(b_i)
\)
Her er
- \(t\) er t-test funktionen
- \(v\) er antallet af observationer minus antallet af regressionskoefficienter og
- se\((b_i)\) er "standard error'' for \(b_i\)
Størrelsen se\((b_i)\) er svær at regne ud i hånden og formlen involvere matrix beregninger. Men kig igen på tabel for regressionskoefficienten. Faktisk er standardfejlen er del af output fra Excel. t-test funktionen er indbygget i Excel under navnet T.INV.2T.
Som eksempel kan vi regne et 90% konfidensinterval for \(b_1\). Her er \(v=24-3=21\), \(\alpha=0,1\), se\((b_i) = 0,42\) og \(b_1=2,35\), så konfidensintervallet bliver
\begin{align}
\Big[2,35 - \textrm{T.INV.2T(0,1;21)} * 0,42 ; 2,35 + \textrm{T.INV.2T(0,1;21)} * 0,42 \Big] &= \\
\Big[2,35 - 1,72 * 0,42 ; 2,35 + 1,72 * 0,42 \Big] &= \\
\Big[1,6276 ; 3,0724\Big]
\end{align}