Inhomogene lineære førsteordens differentialligninger
Den absolut sværeste differentialligning, du kommer til at møde i gymnasiet er af formen
$$y'+a(x)\cdot y=b(x)$$
Den kaldes en inhomogen lineær førsteordens differentialligning. Inhomogen hentyder til, at højresiden er forskellig fra 0. Ordenen af differentialligningen er den højest afledede (her y', men i en andenordens differentialligning ville y'' også optræde).
Et eksempel på en inhomogen lineær førsteordens differentialligning er
$$y'+e^{35x}y=\cos(x)$$
Her er
$$a(x)=e^{35x}$$
$$b(x)=\cos(x)$$
Et andet eksempel kunne være
$$y'+\ln(44x-\sin(x))\cdot y=1$$
Her er
$$a(x)=\ln(44x-\sin(x))$$
mens b(x) er konstant lig med 1.
Løsningen til den inhomogene lineære førsteordens differentialligning er
$$y=f(x)=e^{-A(x)}\cdot\int(b(x)\cdot e^{A(x)})\:dx+ce^{-A(x)}$$
Hvor A(x) er en vilkårlig stamfunktion til a(x).
Problemet med løsningsformlen er, at integralet kan være svært at udregne. Det er ikke altid, det overhovedet lader sig gøre. Men i visse tilfælde kan vi udregne det og nå frem til differentialligningens løsninger.
Her kommer to eksempler på lineære inhomogene førsteordens differentialligninger og deres løsninger.
Eksempel 1
$$y'+4x^3y=16x^3$$
Vi ser først, at
$$a(x)=4x^3$$
og vi udregner stamfunktionen
$$A(x)=\int a(x)\:dx=\int 4x^3\:dx=\frac{1}{4}\cdot4x^4=x^4$$
Nu indsætter vi i løsningsformlen
$$y=f(x)=e^{-x^4}\int(16x^3e^{x^4})\:dx+ce^{-x^4}$$
For at udregne integralet, bruger vi integration ved substitution
Vi sætter
$$t=x^4$$
dermed bliver
$$\frac{dt}{dx}=4x^3$$
$$dt=4x^3dx$$
$$4dt=16x^3dx$$
Dette sætter vi nu ind i integralet.
$$y=f(x)=e^{-x^4}\int(16x^3e^{x^4})\:dx+ce^{-x^4}=e^{-x^4}\int4e^t\:dt+ce^{-x^4}$$
$$=e^{-x^4}\cdot4e^t+ce^{-x^4}$$
Nu mangler vi bare at substituere tilbage og reducere en smule.
$$y=f(x)=e^{-x^4}\cdot4e^{\color{Red} t}+ce^{-x^4}=e^{-x^4}\cdot4e^{\color{Red} {x^4}}+ce^{-x^4}$$
$$=4e^{x^4-x^4}+ce^{-x^4}=4e^0+ce^{-x^4}=4+ce^{-x^4}$$
Eksempel 2
$$y'+\frac{y}{x}=\sin(x)$$
Her er
$$a(x)=\frac{1}{x},\quad b(x)=\sin(x)$$
Vi starter med at udregne A(x)
$$A(x)=\int a(x)\:dx=\int\frac{1}{x}\:dx=\ln(x)$$
Nu indsætter vi i løsningsformlen:
$$y=f(x)=e^{-\ln(x)}\int\sin(x)e^{\ln(x)}\:dx+ce^{-\ln(x)}$$
Før vi reducerer løsningen, husker vi på logaritmeregnereglerne, der giver
$$-\ln(x)=0-\ln(x)=\ln(1)-\ln(x)=\ln(\frac{1}{x})$$
Derved er løsningen
$$y=f(x)=e^{\ln(\frac{1}{x})}\int\sin(x)e^{\ln(x)}\:dx+ce^{\ln(\frac{1}{x})}$$
Nu husker vi på, at ex og ln(x) er omvendte funktioner, så de
ophæver hinanden.
$$y=f(x)=\frac{1}{x}\int\sin(x)\cdot x\:dx+\frac{c}{x}$$
Nu løser vi integralet vha. partiel integration.
$$\int\overbrace{\sin(x)}^{g(x)}\cdot\overbrace{x}^{f(x)}\:dx=\overbrace{x}^{f(x)}\cdot\overbrace{(-\cos(x))}^{G(x)}-\int\overbrace{1}^{f'(x)}\cdot\overbrace{(-cos(x))}^{G(x)}\:dx$$
$$=-x\cdot\cos(x)+\int\cos(x)\:dx$$
$$=-x\cdot\cos(x)+\sin(x)$$
Når vi sætter dette ind på integralets plads i formlen, når vi frem til vores løsning.
$$y=f(x)=\frac{1}{x}\int\sin(x)\cdot x\:dx+\frac{c}{x}$$
$$=\frac{1}{x}\left(-x\cos(x)+\sin(x) \right )+\frac{c}{x}$$
$$=-\cos(x)+\frac{\sin(x)}{x}+\frac{c}{x}$$
Specialtilfælde
Mange af de øvrige differentialligninger, vi har beskæftiget os med, er specialtilfælde af den inhomogene lineære førsteordens differentialligning.
Hvis funktionerne a(x) og b(x) begge er konstante, så bliver vores differentialligning
$$y'+a\cdot y=b$$
og hvis vi omformer den, får vi
$$y'=b-a\cdot y$$
som er differentialligningen for forskudt eksponentiel vækst, med løsningen
$$y=f(x)=\frac{b}{a}+ce^{-ax}$$
Hvis a er konstant og b(x)=0, får vi
$$y'+ay=0$$
hvilket er det samme som
$$y'=-ay$$
som er differentialligningen for eksponentiel vækst, med løsningen
$$y=f(x)=ce^{-ax}$$
Hvis a(x)=0, og b(x) er en hvilken som helt funktion, får vi
$$y'=b(x)$$
som har løsningen
$$y=f(x)=\int b(x)\:dx$$