Ortogonale linjer
Hvis to rette linjer ikke er parallelle, så vil de skære hinanden i et punkt. I dette punkt kan man måle vinklen mellem dem. Hvis vinklen mellem dem er \( 90^{\circ}\), så siger man, at de to linjer står vinkelret på hinanden, eller at de er ortogonale.
At to linjer er ortogonale er altså det samme som at de står vinkelret på hinanden.
På følgende tegning er linjerne l og m ortogonale.
Man skriver at to linjer er ortogonale ved at bruge følgende tegn
$$ l\perp m$$
Der gælder en ret vigtig sætning om ortogonale linjer. Hvis vores linjer er givet ved ligningerne l:y=ax+b og m:y=cx+d, så gælder der:
$$l\perp m\quad\Leftrightarrow\quad a\cdot c=-1$$
Med ord vil det sige "to linjer er ortogonale hvis og kun hvis produktet af deres hældningskoefficienter er -1".
Dette gør det meget let at undersøge om to linjer er ortogonale. Man skal bare gange hældningerne med hinanden og se, om man får -1.
Lad os tage et par eksempler:
Eksempel 1
Er linjerne l: y=2x-1 og m: y=-0,5x+3 ortogonale?
Linjen l har hældningen a=2 og linjen m har hældningen c=-0,5
$$a\cdot c=2\cdot(-0,5)=-1$$
Da produktet af hældningerne er -1, så er linjerne ortogonale. Det er faktisk dem, der er indtegnet ovenfor.
Eksempel 2
Find ligningen for den linje m, der er ortogonal med l: y=4x+1 og som går gennem punktet P(2,3).
Vi skal altså finde m's hældning (c) og m's skæring med y-aksen (d).
Vi starter med at finde c. Da m står vinkelret på l, ved vi, at produktet af deres hældninger skal være -1
$$a\cdot c=-1$$
$$4\cdot c=-1$$
$$c=\frac{-1}{4}$$
$$c=-0,25$$
Altså må ligningen for m være
$$y=-0,25x+d$$
Vi kan bestemme d, fordi vi ved, at punktet (2, 3) ligger på m. Det betyder, at vi kan indsætte dette punkt i ligningen for m.
$$y=-0,25x+d$$
$$3=-0,25\cdot2+d$$
$$3=-0,5+d$$
$$3+0,5=d$$
$$3,5=d$$
Altså er ligningen for m
$$y=-0,25x+3,5$$