Kvadratkomplettering
Hvis man ikke er så god til at huske formler, så findes der også en anden metode til at løse andengradsligninger på, hvor man hverken behøver at huske formel for diskriminant eller x. Til gengæld kræver den, at man er stærk i kvadratsætningerne.
Metoden kaldes kvadratkomplettering.
Navnet skyldes, at det gælder om at lave et "komplet kvadrat" altså omdanne venstresiden til noget, der har med en kvadratsætning at gøre.
Lad os gennemløbe metoden vha. et konkret eksempel.
Eksempel 1
Lad os prøve at løse ligningen:
$$3x^2-18x+24=0$$
Det første man gør er at rykke \(c\) (=24) hen på den anden side af lighedstegnet.
$$3x^2-18x=-24$$
Dernæst dividerer vi med \(a\) (=3). Man skal huske at dividere alle led med \(a\).
$$x^2-6x=-8$$
Nu kommer det svære skridt. Man tager tallet foran \(x\) (=-6), dividerer det med 2 (så får vi -3), sætter resultatet i anden potens (=(-3)2) og lægger det til på begge sider.
$$x^2+{\color{Red} {(-3)^2}}-6x=-8+{\color{Red}{(-3)^2}}$$
Nu kan vi samle venstre side til et "komplet kvadrat" ved at bruge anden kvadratsætning
$$x^2+(-3)^2-6x=x^2+(-3)^2-2\cdot3\cdot x=(x-3)^2$$
Nu ser vores ligning sådan her ud:
$$(x-3)^2=-8+(-3)^2$$
og ved at reducere højresiden (-8 + 9) får vi
$$(x-3)^2=1$$
Nu tager vi kvadratroden på begge sider
$$x-3=\pm\sqrt{1}$$
Det er vigtigt at huske sit plus-minus-tegn foran kvadratroden, for ellers ville man komme til at miste en af løsningerne.
Nu er der kun tilbage at isolere \(x\)
$$x-3=\pm\sqrt{1}$$
$$x=3\pm\sqrt{1}$$
$$x=3\pm1$$
$$x=2\quad\vee\quad x=4$$
Eksempel 2
Vi prøver endnu et eksempel
Hvis ligningen er
$$2x^2+12x-32=0$$
løser vi den på følgende måde
$$2x^2+12x-32=0$$
$$2x^2+12x=32$$
$$x^2+6x=16$$
$$x^2+{\color{Red} {3^2}}+6x=16+{\color{Red} {3^2}}$$
$$x^2+3^2+2\cdot3\cdot x=16+3^2$$
$$\left ( x+3 \right )^2=16+3^2$$
$$\left ( x+3 \right )^2=16+9$$
$$\left ( x+3 \right )^2=25$$
$$x+3=\pm\sqrt{25}$$
$$x=-3\pm\sqrt{25}$$
$$x=-3\pm5=\begin{cases}2\\\\-8 \end{cases}\\$$
Videolektion
I denne video gennemgår vi nogle eksempler på hvordan man benytter kvadratsætningerne til at simplificere sin andengradsligning og dermed løse den uden brug af diskriminantmetoden.