10er-potenser

10er-potenser er en smart måde at skrive enormt store tal (som f.eks. Jordens masse) og enormt små tal (f.eks. vægten af et brint-atom) på en overskuelig måde. Disse tal er ikke lette at håndtere, hvis man er nødt til at skrive alle nullerne.

Hvis vi bruger potenser med 10 som grundtal, så ser vi at

$$10^1=10$$

$$10^2=10\cdot10=100$$

$$10^3=10\cdot10\cdot10=1000$$

Eksponenten svarer altså til antallet af nuller efter 1-tallet.

Denne sammenhæng kan vi bruge til at skrive store tal på en kort måde:

$$4000=4\cdot1000=4\cdot10^3$$

Man kalder ovenstående for at skrive 4000 med videnskabelig notation.

Definitionen på et tal skrevet med videnskabelig notation er

$$a\cdot10^b$$

hvor \(a\) er et tal mellem 0 og 10, og hvor \(b\) er et heltal. Grunden til, at vi forlanger, at \(a\) ligger mellem 0 og 10 er, at hvis det er større, så kan vi forkorte tallet endnu mere ved at lade \(b\) vokse.

F.eks. kan man skrive 28000 om således:

$$28.000=28\cdot1000=28\cdot10^3$$

men det er ikke rigtig videnskabelige notation, da 28 er større end 10.

Derfor kan man i stedet omskrive således.

$$28.000=2,8\cdot10000=2,8\cdot10^4$$

Lad os nu omskrive Jordens vægt

$$6.000.000.000.000.000.000.000.000\ \mathrm{kg}=6\cdot10^{24} \ \mathrm{kg}$$

Meget små tal

Lad os nu se, hvordan vi kan regne på meget små decimaltal. Vi husker på potensregnereglen (se evt. afsnittet om potenser) at

$$\frac{1}{a^b}=a^{-b}$$

Nu har vi, at

$$0,1=\frac{1}{10}=\frac{1}{10^1}=10^{-1}$$

$$0,01=\frac{1}{100}=\frac{1}{10^2}=10^{-2}$$

$$0,001=\frac{1}{1000}=\frac{1}{10^3}=10^{-3}$$

Størrelsen på den negative potens svarer altså til, hvor mange decimaler der er.

Denne sammenhæng kan også udnyttes.

$$0,005=5\cdot0,001=5\cdot10^{-3}$$

Hvis vi vil skrive vægten af et brint-atom kan det gøres således

$$0,\underbrace{0000000000000000000000000017}_{28\ \mathrm{decimaler}}\ \mathrm{kg}$$

$$=1,7\cdot10^{-27}\ \mathrm{kg}$$

Læg mærke til, at selvom der var 28 decimaler, så bliver tierpotensens eksponent kun -27, fordi vi lader en decimal blive ved med at være decimal (7-tallet).

Nogle lommeregnere og computerprogrammer bruger E (eller EE) i stedet for 10 til at beskrive videnskabelig notation. I de tilfælde skriver man bare eksponenten efter E'et i stedet for at skrive den hævet. Eks.:

$$6\cdot10^{24}=6E24$$

Har du et spørgsmål, du vil stille om 10er-potenser? Skriv det i Webmatematiks forum!
Har du en kommentar til indholdet på denne side? Send os en mail!