Løsning af ligninger

En ligning er et matematisk udtryk, der indeholder et lighedstegn og en ubekendt (ofte kaldet \(x\)).

Når man løser en ligning handler det om at finde en værdi af den ubekendte, der gør, at der står det samme på begge sider af lighedstegnet. 

Her er tre eksempler på ligninger

$$x+7 =9$$

$$3+2x =17$$

$$2x-3 =4(x-5)$$

Løsning af ligninger

Nogle ligninger er lette at løse i hovedet. De to øverste ligninger ovenfor volder sikkert ikke store problemer. Det er helt lovligt at gætte på en løsning. Hvis den giver det samme på begge sider af lighedstegnet, når man sætter den ind, er det en løsning, og så er det lige meget, hvordan man kom frem til den.

Det er imidlertid ikke altid lige let at gætte sig frem til løsningen. Nogle ligninger er mere komplicerede. Måske optræder der mange parenteser, og måske er den ubekendte til stede på begge sider af lighedstegnet. Derfor er det godt med nogle metoder til, hvordan man generelt løser ligninger.

Man kan forestille sig et lighedstegn som en vægt. For at der er ligevægt, skal der være det samme på begge vægtskåle – eller på begge sider af lighedstegnet.

Vi må gerne ændre på ligningen, så længe vi sørger for, at ligevægten er bevaret. Dvs. hvis vi får lyst til at lægge 5 til på den ene side af lighedstegnet, så skal vi også sørge for at lægge 5 til på den anden side.

Vi må også trække fra på den ene side, når bare vi sørger for også at trække fra på den anden side.

Det samme gælder for gange og division. Vi må bare ikke gange eller dividere med 0.

Målet med at ændre ligninger er at få den ubekendte til at stå alene på den ene side af lighedstegnet.

Eksempel 1

Lad os prøve at løse en ligning.

$$6x-2=2x$$

Vores taktik er at få alt, der har med \(x\) at gøre hen på den ene side af lighedstegnet, og alt der bare er tal hen på den anden.

Vi samler \(x\)’erne til venstre. Derfor trækker vi 2\(x\) fra på begge sider af lighedstegnet (vi fjerner 2\(x\) fra hver vægtskål).

$$6x-2 \, {\color{Red} {-}} {\color{Red} {2x}}  = 2x \, {\color{Red} {-}} {\color{Red} {2x}}$$

Nu er vores ligning altså blevet lavet om til

$$4x-2=0$$

Så er det tid til at få tallene hen på højre side. Det gør vi ved at lægge 2 til på hver side af lighedstegnet

$$4x-2 \, {\color{Red} {+}} {\color{Red} {2}} = 0 \, {\color{Red} {+}} {\color{Red} {2}}$$

Nu er vores ligning blevet skrevet om til

$$4x=2$$

For at få \(x\) til at stå alene må vi nu dividere med 4 på begge sider

$$\frac{4x}{4}=\frac{2}{4}$$

$$x=\underline{\underline{\frac{1}{2}}}$$

Og så er den ligning løst.

Vi kan prøve at sætte \(x=\tfrac{1}{2}\) ind i den oprindelige ligning for at sikre os, at vi har regnet rigtigt. Venstresiden giver

$$6x-2=6\cdot\frac{1}{2}-2=3-2=1$$

Og højresiden giver

$$2x=2\cdot\frac{1}{2}=1$$

Eksempel 2

Lad os prøve med endnu en ligning

$$x-4=-3(x-6)-(x-3)$$

Her er det svært at gætte en løsning til at starte med.

Lad os først gange parenteserne ud, så det er lettere at se, hvad vi har med at gøre. Når vi ganger parenteserne ud, ændrer vi ikke på ligningen. For at blive i vægt-metaforen: Vi hverken tager eller lægger noget på vægtskålene; vi rykker blot rundt på det der allerede er der.

Vi ophæver først minusparentesen, hvorved alle led i den skifter fortegne. \(x\) bliver til -\(x\) og -3 bliver til +3.

$$x-4=-3(x-6)-x+3$$

Nu ganger vi -3 ind i den anden parentes. Det giver

$$x-4=-3x+18-x+3$$

Vær opmærksom på fortegnene! -3\(\cdot x\) giver -3\(x\), og -3\(\cdot\)(-6) giver +18.

Nu samler vi leddene lidt sammen ved at lægge hhv. tal og \(x\)’er sammen på højresiden

$$x-4=-4x+21$$

Nu samler vi alle \(x\)’erne på venstre side. Eftersom der står -4\(x\) på højre side, skal vi lægge 4\(x\) til på begge sider for at slippe af med dem.

$$x-4 \, {\color{Red} {+}} {\color{Red} {4x}} =-4x+21 \, {\color{Red} {+}} {\color{Red} {4x}}$$

$$5x-4 =21$$

For at samle tallene på højre side, skal vi lægge 4 til på begge sider

$$5x-4 \, {\color{Red} {+}} {\color{Red} {4}} =21 \, {\color{Red} {+}} {\color{Red} {4}}$$

$$5x =25$$

For at få \(x\) til at stå alene, skal vi dividere med 5 på begge sider af lighedstegnet.

$$\frac{5x}{5} =\frac{25}{5}$$

$$x =\underline{\underline{5}}$$

Og så er ligningen løst. Du kan selv prøve at sætte \(x=5\) i den oprindelige ligning og se, om du får det samme på begge sider af lighedstegnet.

Videolektion

Har du en kommentar til indholdet på denne side? Send os en mail!