Kvadratrod
At finde kvadratroden af et positivt tal a, svarer til at finde det tal, der ganget med sig giver det oprindelige tal a.
Hvis f.eks. a = 9, skal vi finde kvadratroden af 9, altså det positive tal, der ganget med sig selv giver 9. I dette tilfælde er det hurtigt at se, at dette tal må være 3.
$$\sqrt{9}=3\quad\mathrm{fordi}\quad 3\cdot3=9$$
Vi ser, at der også findes et andet tal, der ganget med sig selv giver 9, nemlig -3:
$$(-3)\cdot(-3)=9$$
fordi produktet af to negative tal er positivt. Når vi tager kvadratroden af et tal, får vi dog altid det positive tal, da dette er definitionen af en kvadratrod. Derfor gælder altså:
$$\sqrt{9}=3,\qquad\sqrt{9}\ne-3$$
Man kan kun tage kvadratroden af positive tal, da vi ikke kan finde et tal, der ganget med sig selv giver et negativt tal. Både et positivt og et negativt tal vil ganget med sig selv give et positivt tal.
Der er nogle tal, der er lette at finde kvadratroden af. F.eks. er
$$\sqrt{25}=5\quad\mathrm{fordi}\quad5\cdot 5=25$$
De tal, der har et helt tal som kvadratrod kaldes kvadrattallene. Det er godt at kende dem, når man skal finde kvadratroden af tal, der ikke opfører sig lige så pænt.
$$1^2 =1$$
$$2^2 =4$$
$$3^2 =9$$
$$4^2 =16$$
$$5^2 =25$$
$$6^2 =36$$
$$7^2 =49$$
$$8^2 =64$$
$$9^2 =81$$
$$10^2 =100$$
$$11^2 =121$$
$$12^2 =144$$
$$13^2 =169$$
Hvis vi nu skal finde kvadratroden af 45, så ved vi, at vi skal lede et sted mellem 6 og 7. Vi kan også allerede se, at 45 er væsentligt tættere på 49 end på 36, så vi ender nok med et tal tættere på 7 end på 6.
Så kan vi prøve os frem. F.eks. kan vores første gæt være 6,5
$$6,5^2=42,25$$
Det var for lavt. Så ved vi, at tallet skal ligge mellem 6,5 og 7. Vi prøver med nogle tal midt imellem
$$6,7^2 =44,89$$
$$6,8^2 =46,24$$
Nu ved vi altså, at kvadratroden af 45 ligger et sted mellem 6,7 og 6,8. Så kunne vi prøve med 6,75 og på den måde blive ved at indsnævre, til vi var så tæt på, vi ville. Vi ville nok stoppe ved 6,708.
$$\sqrt{45}\approx 6,708\quad\mathrm{fordi}\quad6,708^2=44,997264\approx45$$
Videolektion