1. søndag i advent: Pebernødder

Hvor mange pebernødder?

Første del af Matematikcenters adventskonkurrence gik ud på at gætte, hvor mange pebernødder, der var i en beholder med en bund med sidelængderne 13 cm, når laget af pebernødder var 5 cm højt.

Det tal kan man nå frem til, ved at regne på beholderen og pebernøddernes størrelse, men man er også nødt til at gætte på, hvor meget luft, der er tilbage i beholderen, fordi pebernødderne ikke fylder beholderen helt ud – akkurat, som hvis vi havde fyldt beholderen med fx klementiner i stedet.

Hvor Mange Pebernødder Er Der

Se hele videoen her

Lad os prøve at regne lidt på det:

Vi målte pebernødderne til cirka at have form som en halvkugle med radius på 1,1 cm. Rumfanget af en pebernød er derfor: $$0,5 \cdot \frac{4}{3}\cdot \pi \cdot (1,1 cm)^3 = 2,79 cm^3$$

Rumfanget af beholderen (op til de 5 cm) er:

$$5 cm \cdot 13 cm \cdot 13 cm = 845 cm^3 $$

I teorien er der derfor plads til:

$$ \frac{845 cm^3}{2,79 cm^3 pr. pebernød} = 302,9 pebernødder$$

Pebernødderne fylder dog ikke hele beholderen ud, da det er faste elementer, der ikke tilpasser sig beholderen og fordi det er halvkugler, der fordeler sig i en kasseformet beholder.

Kugler kan pakkes, så de fylder 74 % af deres beholder, så hvis alle pebernødder i par tilsammen danner en kugle, så kan vi fylde 74 % af beholderen, hvilket giver os:

$$ \frac{302,9}{100} \cdot 74 \% = 224 pebernødder$$

Det er dog stadig for højt, så vi kan konkludere, at pebernødderne ikke fordeler sig optimalt – det kan vi også se i videoen.

Det betyder, at vi her må gætte, hvad pakningsdensiteten må være.

Vi kan dog ud fra vores viden om, at der er 151 pebernødder i beholderen udregne pakningsdensiteten:

$$\frac{151 pebernødder }{\frac{302,9 pebernødder}{100 \%}} = 49,85 % ≈ 50 %$$

Det vil sige, at man får det rigtige resultat, hvis man gætter på, at pakningsdensiteten er på 50 %.

Korrekt svar: Vi talte pebernødderne op, og der var 151 pebernødder.

Kilder:

https://en.wikipedia.org/wiki/Sphere_packing

Har du en kommentar til indholdet på denne side? Send os en mail!