Matematiske kastanjedyr

Hvis du er træt af at lave giraffer ud af kastanjer og tændstikker, har vi et forslag til, hvad du i stedet kan lave: Matematiske kastanje"dyr".

Da vi regnede på Dome of Visions, beskrev vi kort platoniske legemer: Et platonisk legeme er en rumlig struktur, der består af ens, lige store polygoner. Herudover skal den være konveks – den må ikke bule ud nogen steder. Der findes kun fem forskellige platoniske legemer: Tetraeder, oktaeder, ikosaeder, hexaeder og dodekaeder.

Der findes ikke platoniske legemer, der består af polygoner med mere end fem sider, fordi vinkelstørrelsen bliver for stor. Youtube-kanalen Numberphile beviser det i denne video, hvor de også forklarer, hvorfor der ikke er flere platoniske legemer, der består af trekanter, firkanter og femkanter end dem, der er vist ovenfor.

Vi har lavet de fem platoniske legemer med kastanjer og tændstikker (vi har også brugt en syl og en saks til hhv. at lave huller i kastanjerne og skrabe svovl af tændstikker).

Tetraeder:

Først laver du en trekant af tre kastanjer og lige så mange tændstikker. Fra hver af disse kastanjer laver du en tændstik, der går ind mod midten og opad. Den sidste kastanje sætter du på disse tre.

Så har du et tetraeder med 4 hjørner, 6 tændstikker og 4 flader.

Oktaeder:

Her laver du først en firkant. Fra hver af disse kastanjer laver du en tændstik, der går ind mod midten og op. På disse fire tændstikker, sætter du en kastanje, så tændstikkerne samles i ét punkt (én kastanje i hvert fald). På samme vis sætter du en tændstik i hver af de fire kastanjer i firkanten, der peger ind mod midten og ned.

Disse tændstikker samles også i en kastanje, og så har du et oktaeder, der består af 6 kastanjer, 12 tændstikker og 8 flader.

Ikosaeder:

Her starter du med at lave en femkant. Fra hver af kastanjerne heri skal der gå en tændstik ned og ind mod midten. Her (i midten, lidt under femkanten) placeres en kastanje, som de fem tændstikker sættes fast i.

Herefter laver du en til femkant med en kastanje i, så du har to ens strukturer. 

De udgør hhv. toppen og bunden i ikosaederet (toppen skal selvfølgelig vendes, så kastanjen i midten vender opad).

Hvis du drejer toppen og bunden lidt, så kastanjerne i femkanterne ikke er helt over hinanden, kan du se, hvordan de skal sættes sammen: I toppen skal der i hver kastanje sættes to tændstikker, der peger skrot ned til hver deres side, og disse tændstikker sættes fast i kastanjerne på den bund-delen.

Når du har puslet lidt med at få vinklerne til at passe, har du et ikosaeder, der består af 12 kastanjer og 30 tændstikker og som har 20 flader.

Hexaeder:

Hexaederet, der nok bedre er kendt som kuben, kan du let lave ved at lave to firkanter og sætte dem sammen. Her bruger du 8 kastanjer og 12 tændstikker og ender med at få seks flader.

Dodekaeder: 

Dodekaederet bygges ved at lave to femkanter. Fra hver af de kastanjer, der er i femkanterne sættes en tændstik, der stikker opad og udad med samme vinkel, som der er mellem kastanjerne i femkanten. For enden af hver tændstik, sætter du en kastanje. 

Så samler du de to dele på samme måde som ikosaederet ved at dreje toppen lidt i forhold til bunden og forbinde kastanjerne i toppen og bunden.

Her får du et legeme med 12 flader (dodeka betyder 12), der består af 20 kastanjer og 30 tændstikker.

Måske har du bemærket, at der er et særligt forhold imellem antallet af flader (F), tændstikker (linjer, L) og kastanjer (punkter, P):

P – L + F = 2

Denne relation er udledt at matematikeren L. Euler, og kan bevises, men det vil vi ikke komme ind på her. Nu har vi bygget de fem platoniske legemer, og hvis du har lyst, kan du lige tegne øjne på de fem legemer, så de bliver rigtige kastanjedyr. 

God efterårsferie fra Matematikcenter!