1. søndag i advent: Pebernødder
Hvor mange pebernødder?
Første del af Matematikcenters adventskonkurrence gik ud på at gætte, hvor mange pebernødder, der var i en beholder med en bund med sidelængderne 13 cm, når laget af pebernødder var 5 cm højt.
Det tal kan man nå frem til, ved at regne på beholderen og pebernøddernes størrelse, men man er også nødt til at gætte på, hvor meget luft, der er tilbage i beholderen, fordi pebernødderne ikke fylder beholderen helt ud – akkurat, som hvis vi havde fyldt beholderen med fx klementiner i stedet.
Lad os prøve at regne lidt på det:
Vi målte pebernødderne til cirka at have form som en halvkugle med radius på 1,1 cm. Rumfanget af en pebernød er derfor: $$0,5 \cdot \frac{4}{3}\cdot \pi \cdot (1,1 cm)^3 = 2,79 cm^3$$
Rumfanget af beholderen (op til de 5 cm) er:
$$5 cm \cdot 13 cm \cdot 13 cm = 845 cm^3 $$
I teorien er der derfor plads til:
$$ \frac{845 cm^3}{2,79 cm^3 pr. pebernød} = 302,9 pebernødder$$
Pebernødderne fylder dog ikke hele beholderen ud, da det er faste elementer, der ikke tilpasser sig beholderen og fordi det er halvkugler, der fordeler sig i en kasseformet beholder.
Kugler kan pakkes, så de fylder 74 % af deres beholder, så hvis alle pebernødder i par tilsammen danner en kugle, så kan vi fylde 74 % af beholderen, hvilket giver os:
$$ \frac{302,9}{100} \cdot 74 \% = 224 pebernødder$$
Det er dog stadig for højt, så vi kan konkludere, at pebernødderne ikke fordeler sig optimalt – det kan vi også se i videoen.
Det betyder, at vi her må gætte, hvad pakningsdensiteten må være.
Vi kan dog ud fra vores viden om, at der er 151 pebernødder i beholderen udregne pakningsdensiteten:
$$\frac{151 pebernødder }{\frac{302,9 pebernødder}{100 \%}} = 49,85 % ≈ 50 %$$
Det vil sige, at man får det rigtige resultat, hvis man gætter på, at pakningsdensiteten er på 50 %.
Korrekt svar: Vi talte pebernødderne op, og der var 151 pebernødder.
Kilder:
https://en.wikipedia.org/wiki/Sphere_packing