Mest muligt pizza

Du har bestilt en familiepizza på 40 cm i diameter, men da du kommer for at hente den, får du at vide at de er løbet tør for store pizzabunde, og du har i stedet fået to mindre pizzaer på 22 cm. Og da 22 + 22 = 44, har du jo faktisk fået mere pizza, end du har betalt for... ik? 

Inden du forlader pizzeriaet, kommer du i tanker om formlen for arealet af en cirkel. Du regner efter, og opdager, at du er blevet snydt godt og grundigt. Selv ikke hvis du havde fået tre pizzaer på 22 cm, havde du fået lige så meget pizza som hvis du havde fået den du bestilte på 40 cm. 

Arealet af en pizza

For at bestemme arealet af en rund pizza, skal vi kende pizzaens radius, r. Formlen for arealet er da:

$$ A = r^2 \cdot \pi. $$

Familiepizzaen havde en diameter på 40 cm, dvs. radius er 20 cm. Det kan vi sætte ind, og beregne arealet af den:

$$ A_{40} = (20\mathrm{cm})^2 \cdot \pi = 1257 \mathrm{cm}^2. $$

Familiepizzaen har altså et areal på 1257 cm². Men i stedet for den, fik du to pizzaer på 22 cm. Dem vil vi også udregne arealet af:

$$ A_{22} = (11\mathrm{cm})^2 \cdot \pi = 380 \mathrm{cm}^2. $$

Allerede nu kan vi se, at arealet er under halvt så stort. De to pizzaer har tilsammen arealet: \( 380 \mathrm{cm} \cdot 2 = 760 \mathrm{cm}^2 \), hvilket er meget mindre end arealet af den store pizza. Tre af de små pizzaer har et areal på 1140 cm², så ikke engang dette er nok til at svare til en familiepizza. 

... men hvad hvis det kun er skorpen, der betyder noget?

Hvis du kun køber pizza for at spise skorperne, og egentlig er ligeglad med resten, så er det en anden formel, vi skal have fat i. Skorpen er pizzaens yderkant, og vi skal derfor beregne omkredsen af cirklerne i stedet. Det gør man med denne formel:

$$ O = d \cdot \pi. $$

Omkredsen af en pizza på 40 cm er:

$$ O = 40 \mathrm{cm} \cdot \pi = 126 \mathrm{cm}. $$

Og den samlede omkreds for to pizzaer på 22 cm er:

$$ O = 2 \cdot 22 \mathrm{cm} \cdot \pi = 138 \mathrm{cm}. $$

Så hvis vi kun kigger på omkreds, så er to pizzaer på 22 cm mere værd end én på 40 cm. Grunden til dette er, at omkredsen er direkte proportional med pizzaens radius, hvor arealet afhænger af radius i anden. Det vil sige, at når radius fordobles, så vil arealet blive fire gange så stort, da \(2^2 = 4\). Arealet er en potensfunktion, og dem kan du læse mere om her.