Einsteins fødselsdag
Den 14. marts er en yderst matematisk dag - det er nemlig både Albert Einsteins fødselsdag, som i dag ville være blevet 142 år, og så er det også pi-dag. Vi har tidligere skrevet om pi-dag, så denne gang skal det handle om Einstein.
"Albert Einstein" af ThomasThomas er licenseret under CC BY-NC 2.0
Einstein står bag en af verdens kendteste ligninger, nemlig \(E=mc^2 \), der siger, at der er en sammenhæng mellem masse og energi. Her er E systemets energi, c er lysets hastighed i vakuum, og m er masse. I lang tid troede man, at masse altid var bevaret. Men med Einsteins ligning for masse-energi ækvivalens så man, at det ikke altid er tilfældet. En af ligningens betydninger er nemlig, at masse kan konverteres til energi, og omvendt.
Masse-energi ækvivalens i filmen Grusomme Mig
I filmen Grusomme Mig fra 2010, vil Gru gerne stjæle månen. Han bruger en krympestråle til at gøre månen lille bitte så kan kan have den i sin hånd, som vist på billedet nedenfor. Månens masse er tilsyneladende ikke bevaret under krympningen, for så ville den nok ikke kunne holdes i hånden på den måde. Månen vejer nemlig 73.490.000.000.000.000.000.000 kg. Eller skrevet lidt kortere: 7,349 · 1022 kg. Men hvor meget energi ville der blive frigivet, hvis densiteten af månen, og ikke dens masse, er bevaret?
Coffin, P., & Renaud, C. (2010). Despicable Me. Universal Pictures.
For at finde ud af, hvor meget energi der ville frigives, skal vi først finde densiteten af månen, dernæst finde massen af den krympede måne, og forskellen i masse kan så bruges til at beregne energien. Vi får brug for nogle størrelser at regne på:
| Størrelse | Værdi |
| Månens masse | 7,349 · 1022 kg |
| Månens radius | 1737,3 km |
| Den krympede månes radius | 7 cm (0,007 km) |
| Lysets hastighed i vakuum | 3 · 108 m/s |
Densitet er masse per volumen, så for at finde denne, skal vi bruge månens volumen. Man finder volumenet af en kugle med formlen:
$$ V_{kugle} = \frac{4}{3}\cdot \pi \cdot r^3 $$
Så det vil sige, at månens volumen er:
$$ V_{Månen} = \frac{4}{3}\cdot \pi \cdot (1737.3 \mathrm{km})^3 = 2,196 \cdot 10^{10} \mathrm{km^3} $$
Nu kan densiteten findes ved at dividere månens masse med dens volumen:
$$ \rho_{Månen} = \frac{7.349\cdot 10^{22}\mathrm{kg}}{2,196 \cdot 10^{10} \mathrm{km^3}} = 3345.9 \mathrm{\frac{kg}{m^3}} $$
Nu har vi altså densiteten af månen. Hvis vi skal finde ud af hvor meget den lille måne vejer, skal vi bruge volumenet af den, og gange det med densiteten. Den krympede månes radius har vi approksimeret til 7 cm, så dens volumen bliver:
$$ V_{Krympet måne} = \frac{4}{3}\cdot \pi \cdot (7 \mathrm{cm})^3 = 1436.8 \mathrm{cm^3} $$
Og dermed vejer den:
$$ m_{Krympet måne}=1436.8 \mathrm{cm^3} \cdot 3345.9 \mathrm{\frac{kg}{m^3}} = 4.8 \mathrm{kg} $$
Den krympede måne vil veje 4,8 kg. Det er så lidt i forhold til månens masse, at vi godt kan se bort fra det i den næste beregning. Det vil være en fin approksimation at regne på, at hele månens masse bliver omdannet til energi. Og det er her Einstein kommer ind i billedet: Med hans formel \( E=mc^2 \) kan vi regne energien ud:
$$ E = 7.349 \cdot 10^{22} \mathrm{kg} \cdot \bigg(3\cdot 10^{8} \mathrm{\frac{m}{s}}\bigg)^2 = 6.614 \cdot 10^{39} \mathrm{J} $$
Hele 6,614 · 1039 Joule ville der komme ud af det. Det er 6.614.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000 Joule. I 2015 var verdens energiforbrug 569,4 exa-Joule, som betyder 569,4 · 1018 Joule. Energien udvundet fra månens masse kunne med det energiforbrug forsyne Jorden med energi i 11.620.000.000.000.000.000 år.
Kilder:
https://da.wikipedia.org/wiki/Verdens_energiforbrug