90-års fødselsdagen

Lige om lidt træder vi ind i år 2017, og nytårsaften er fuld af traditioner - herunder 90-års-fødselsdagen.

Her holder Miss Sophie 90-års fødselsdag for hendes fire venner, Admiral von Schneider, Mr. Winterbottom, Mr. Pommeroy og Sir Toby. Alle herrene er døde, så Miss Sophies butler, James, overtager deres roller under selskabet - og deres drikkevarer.

Det medfører, at James får en del genstande indenbors, og han er flere gange ved at falde over tigerhovedet, der ligger på gulvet, men hvor fuld bliver han egentlig?

Vi har regnet lidt på det, og kan konkludere, at James ender med at drikke knap 9 genstande og med at få en promille på 1,9.

Sådan har vi regnet det ud: 

Hvor mange genstande drikker James?

Hele vejen igennem middagen får Sir Toby lidt ekstra alkohol i sit glas, men man kan høre, at der altid er lidt væske tilbage i glassene, som James drikker af. Derfor er det svært at sige, præcis hvor meget, han drikker, men vi prøver at estimere det:

Til suppen serverer James sherry, og et glas sherry indeholder normalt 8 g alkohol (5 cL). Han drikker alle fire glas:

$$ 8 \mathrm{gram \,alkohol/glas} \cdot 4\mathrm{glas} = 32 \mathrm{gram\, alkohol}$$

Til fisken får de hvidvin, men det ser ikke ud til, at der bliver hældt 12 cL vin i hvert glas (ud fra, hvor meget der er tilbage i flasken), så vi regner med, at James drikker 2 genstande hvidvin.

1 genstand er 12 g alkohol, så han drikker 12+12=24 g alkohol i form af hvidvin. 

Til kyllingen får de champagne, hvor vi anslår, at James drikker cirka 3 glas - han skænker 4 små glas op og hælder herudover indholdet af en underkop i Sir Tobys glas. Vi regner med, at James effektivt set får drukket 3 glas champagne, der hver indeholder 11 g alkohol:

$$ 11\mathrm{gram \,alkohol/glas} \cdot 3\mathrm{glas} = 33 \mathrm{gram \,alkohol}$$

Til frugten serverer James portvin, og et glas(5 cL) indeholder normalt 7,8 g alkohol. James drikker en stor tår af flasken (~1,3 glas) og herudover tømmer han Sir Tobys glas og tager lidt af Mr. Pommeroys. Vi regner med, at det svarer til 1,1 glas. 

$$7,8 \mathrm{gram \,alkohol/glas} \cdot (1,3 \mathrm{glas}+1,1 \mathrm{glas}) = 18,72 \mathrm{gram \,alkohol}$$

I alt betyder det, at James indtager: 

$$32 \mathrm{g \,alkohol} + 24 \mathrm{g \,alkohol} + 33 \mathrm{g alkohol} + 18,72 \mathrm{g\, alkohol} = 107,72 \mathrm{g\, alkohol}$$

Vi udregner antallet af genstande ud fra, at der går 12 g alkohol pr. genstand:

$$ \frac{107,7 \mathrm{g\, alkohol}}{12  \mathrm{g \,alkohol/genstand}} = 8,98  \mathrm{genstande ≈ 9 genstande} $$

James drikker altså cirka 9 genstande i løbet af mindre end 11 minutter.

Hvad bliver James' promille?

Vi forudsætter, at James er ædru, når middagen begynder - det er dog langt fra sikkert. Vi regner med, at han vejer 80 kg, og bruger følgende formel til at finde hans promille:

$$\frac{\mathrm{alkohol \,i\, gram}}{\mathrm{kropsvægt\, målt \,i \,kg} \cdot 0,70}-0,15 \cdot \mathrm{timer\, fra\, drikkestart} = \mathrm{alkoholpromille}$$

$$\frac{107,72 \mathrm{g\, alkohol}}{80\mathrm{ kg} \cdot 0,70}-0,15 \cdot \frac{11 \mathrm{minutter}}{60 \mathrm{minutter/time}} = 1,90 \mathrm{promille}$$

James har altså en promille på 1,90. Ved en promille på 1,5 får man besvær ved at tale og bevæge sig, og det må vi sige, at James bestemt har. 

Hvornår er James ædru?

Hans alkoholpromille er en funktion af tiden, og der forbrændes 0,15 promille pr. time. Vi kan derfor udregne, hvornår James er ædru ved at sætte funktionen for promille lig 0: 

$$\frac{107,72 \mathrm{g \,alkohol}}{80\mathrm{ kg} \cdot 0,70}-0,15 \cdot t = 0 \mathrm{promille} $$

Vi løser ligningen mht. t vha. et CAS-værktøj og får t = 12,82. Der går altså næsten 13 timer, før James er ædru. 

Matematikcenter siger tak for i år og ser frem til at hjælpe med matematikken i 2017.

Kilder:

http://www.slankesiden.dk/index.php?menuID=9&id=246

https://da.wikipedia.org/wiki/90-%C3%A5rs-f%C3%B8dselsdagen

https://www.youtube.com/watch?v=l2Z5z8lZNjs

https://www.sundhed.dk/borger/sygdomme-a-aa/psyke/sygdomme/alkohol/alkoholpromille-beregning/

http://www.smarteater.net/images/drink_analysis.pdf

https://da.wikipedia.org/wiki/Sherry

http://politiken.dk/forbrugogliv/sundhedogmotion/guidersundhedogmotion/ECE795191/saadan-taeller-du-genstande/

http://www.omalkohol.dk/krop-sundhed/alkohol-promille-og-procenter/