Derfor er det koldt

Vinteren er vendt voldsomt tilbage til Danmark. Efter at januar måned var hele 1,4 grader varmere end normalen, ser det nu ud til, at en kold brise fra Sibirien bevæger sig ind over landet og tager det kolde vejr med sig.

Hvad er kulde?

Verden består af atomer og molekyler. De udgør både luften omkring dig og den computer eller mobil, hvor du læser det her. Alle disse molekyler og atomer bevæger sig voldsomt rundt i tilfældige mønstre. Selv i den stol du sidder på, der ellers virker forholdsvis stabil, flyver atomerne rundt og banker ind i hinanden.
Temperatur er netop et udtryk for disse molekyler gennemsnitlige bevægelsesenergi. Altså hvor hurtigt de bevæger sig rundt. Jo hurtigere molekylerne bevæger sig des varmere er det. På en varm sommerdag bevæger luftens molekyler sig altså meget hurtigere rundt end på en kold vinterdag som i dag. 

Så selvom det kan være træls, at det for tiden er iskoldt, så betyder det faktisk, at luftens molekyler i gennemsnit bevæger sig næsten 120km/t langsommere end på en varm sommerdag.

Vintervejr

På den varmeste sommerdag i 2016 bankede luftmolekylerne ind i dig med en hatighed på hele 1876 km/t.

Når vi i de kommende dage får temperaturer på helt ned til \(-5^{\circ} \) kan vi i det mindste glæde os over at luftmolekylerne banker en lille smule mindre hårdt. Her vil de kun bevæge sig med 1760 km/t.

Sådan har vi regnet det

Beskrivelse af luftmolekylernes bevægelse

Luftens molekyler bevæger sig tilfældigt rundt. Hastigheden og retningen for disse bevægelser kan beskrives som en vektor i 3. dimensioner.
$$ \overrightarrow{v}=\begin{pmatrix}v_x\\v_y\\v_z\end{pmatrix} $$

Kinetisk energi og ligefordelingsprincippet

Vi ved fra fysik, at den kinetiske energi for et objekt i bevægelse kan beskrives ud fra massen af objektet samt dets fart.

\( E_{kin} = \frac{1}{2}\,m\, v^2 \)

Den kinetiske energi for et molekule i en gas er givet ved en sum af energierne i hver enkel retning.

Luftmolekyler

Altså:
\( E = \frac{1}{2}mv_x^2 + \frac{1}{2}mv_y^2 + \frac{1}{2}mv_z^2 \)
I følge den såkaldte ligefordelingslov kan vi beskrive den gennemsnitlige kinetiske energi for et givent molekyle i en gas udelukkende ud fra temperaturen og en konstant kaldet Boltzmanns konstant.
\( \langle E_{kin} \rangle = n \cdot \frac{1}{2} k_B \, T \)

hvor \(k_B = 1{,}38 \times 10^{-23} \mathrm{J/K} \)

n er netop antallet af frihedsgrader for molekylets bevægelse. Da molekylet, som tidligere nævnt, har hastighed i 3 dimensioner er n her 3. Atlså opnår vi:
\( \langle E_{kin} \rangle = \frac{3}{2} \, k_B \, T \)

Temperaturen

Nu mangler vi altså bare at indsætte vores temperatur. Temperaturen i vores formel skal angives i Kelvin, så vi skal først lige omregne \(-5^{\circ} \).

\( Kelvin = 273{,}15 + C \)

Ved \(-5^{\circ} \)
\( Kelvin = 273{,}15  -5^{\circ} = 268{,}15 \mathrm{K} \)

 \( \langle E_{kin} \rangle = \frac{3}{2} \, 1{,}38 \times 10^{-23}\, \mathrm{J/K}  \, 268{,}15 = 5{,}55\, \mathrm{J} \)

Hvilken fart svarer denne kinetiske energi til?

For at udregne farten skal vi vende tilbage til vores generelle udtryk for den kinetiske energi.
\( E_{kin} = \frac{1}{2}\,m\, v^2 \)
Nu kender vi jo netop den kinetiske energi for et gennemsnitligt luftmolekyle, og massen kan vi hurtigt bestemme.

Det meste af luften omkring os består af dinitrogen, så for nemheds skyld regner vi med, at det gennemsnitlige luftatom har en masse på:
\( m = 28 \, \mathrm{u} \cdot 1{,}66 \times 10^{-27}\, \mathrm{kg/u} =  4{,}65\times 10^{-26}\, \mathrm{kg} \)

Til sidst skal vi isolere v i vores udtryk for den kinetiske energi:

\( E_{kin} = \frac{1}{2}\,m\, v^2 \)
\(\Updownarrow\)
\(v = \sqrt{\frac{2\,E_{kin}}{m}}\)

Så skal vi bare indsætte vores fundne værdier for massen og den kinetiske energi:

\(v = \sqrt{\frac{2\cdot 5{,}55\, \mathrm{J}}{4{,}65\times 10^{-26}\, \mathrm{kg}}} = 488{,}8 \mathrm{m/s} \)

Ved \(-5^{\circ} \) bevæger luftens molekyler sig altså med 488,8 m/s. Det svarer til hele
\( 488{,}8 \, \mathrm{m/s} \cdot 3600\,\mathrm{s/t} \cdot 0{,}001\, \mathrm{km/m} = 1759{,}8\, \mathrm{km/t} \)

Du bliver altså hvert sekund bombarderet af luftens molekyler med en fart på næsten 2000 km/t.

Efter samme princip har vi også regnet luftmolekylernes gennemsnitlige fart ved \(31{,}6^{\circ} \)

 

Har du et spørgsmål, du vil stille om Derfor er det koldt? Skriv det i Webmatematiks forum!
Har du en kommentar til indholdet på denne side? Send os en mail!