Regnvejr

Kan det bedst betale sig at gå, cykle eller løbe i regnvejr?

Efteråret er for alvor over os med alt, hvad det bringer af efterårsferie, afslutningen på sommertid, og selvfølgelig utroligt dårligt vejr. Nogle vil mene, at der ikke findes dårligt vejr, kun forkert påklædning. Men uanset livssyn så regner det.

regn blade

Det store spørgsmål som alle burde stille sig, er derfor "hvordan kommer jeg tørrest igennem regnen? Er det ved at gå, løbe eller cykle?". Men, fortvivl ej længere, vi har regnet på det, og konklusionen er klar: det kan uden tvivl bedst kan betale sig at cykle.

Sådan har vi regnet det ud

Først antager vi, at det regner meget kraftigt. Forestil dig en byge fra hvilken der falder 20 mm regn i timen. Det betyder, at en hvilken som helst beholder (med lodrette sider) vil fyldes 20 mm op pr. time. Vi kalder dette for regnintensiteten eller \(R_i = 20\ mm/t\). Ud over mængden af regn, så har de individuelle regndråber en hastighed. I et lufttomt rum ville dråberne accelerere konstant, men på jorden vil alt der falder eventuelt nå dets terminal velocity: en maksimal hastighed der er afhængig af bl.a. vægt, form, luft- og vindforhold. Regndråbers terminal velocity ligger på mellem 2 m/s og 9 m/s. I vores udregninger falder dråberne med 6 m/s. Regndråbernes hastighed definerer vi \(R_v = 6\ m/s\).

Ud fra disse to variable kan vi så finde regnens tæthed. Det er den mængde vand der ville være i et område, hvis man pausede regnen og samlede det hele i et glas. Vi betegner denne 'tæthed' \(R_t\).

Hvis vi stillede en bakke, med arealet A, ud i regnen i en time så ville vi kunne beskrive, hvor meget vand der er i kassen på to måder.

\(vand\ i\ kassen = A \cdot R_i\)
\(vand\ i\ kassen = A \cdot R_v \cdot R_t\)

Samles disse to ligninger, så fås, at regnens tæthed er forholdet mellem hastigheden og intensiteten.

\(R_t = \frac{R_i}{R_v} = \frac{1}{1080000} ≈ 9,26 \cdot 10^{-7}\)

For hver kubikmeter luft er der således næsten én kubikcentimeter, der er regn.

regn dråber

Med regnen på plads skal vi så have sat en person ud i den. For at simplificere kroppen har vi pakket den ind i en kasse med målene \(170\ cm \cdot 37,25\ cm \cdot 12\ cm\) (højde, bredde, dybde).

Da vi antager, at regnens intensitet og tæthed er konstant, vil der falde 20 mm regn pr. time på toppen af den - uanset om den bevæger sig eller ej. Mængden af regn oppefra kan altså beskrives som en funktion af tiden, hvor der hver time, \(t\) falder 20 mm regn på \(37,25\ cm \cdot 12\ cm = 447\ cm^2\). Vi kan skrive det som en funktion.

\(O(t) = 0,2\ cm \cdot 477\ cm^2 \cdot t\)

Da vi også ved, hvor stor en del af luften er fuld af regn på et hvilket som helst tidspunkt, kan vi også regne ud, hvor meget regn kassen 'støder' ind i, når den bevæger sig fremad. Vi skal blot finde den samlede volumen luft, som den bevæger sig igennem, og gange det med regntætheden. Alt dette ganges derefter med 1000000 for at ændre enhed fra kubikmeter til  kubikcentimeter.

\(F(a) = 1,7\ m \cdot 0,3725\ m \cdot a \cdot R_i \cdot 1\ 000\ 000\)
\(F(a) = \frac{1,7\ m \cdot 0,3725\ m \cdot a}{1,08}\)

Den samlede mængde regn man bliver udsat for er således både en funktion af, hvor langt man skal og hvor lang tid man er i regnen.

Eksempel

Hvis man skal til middag hos sin ven, så har man umiddelbart to muligheder. Man kan gå eller man kan løbe. Vi antager, at vennens hus ligger 6 km væk, den gennemsnitlige gå-hastighed er 4 km/t og løbehastigheden tilsvarende er 12 km/t. Med udgangspunkt i dette kan vi udregne, hvad der er smartest.

Hvis man går tager det \(\frac{6\ km}{4\ km/t} = 1,5\ time\). Indsætter vi det i den første formel, og \(6\ km = 6000\ m\) i den anden, får vi den samlede mængde vand til at være

\(O(1,5) + F(6000) =\)
\(0,2\ cm \cdot 477\ cm^2 \cdot 1,5 + \frac{1,7\ m \cdot 0,3725\ m \cdot 6000\ m}{1,08} =\)
\(3661,2\ ml\)

Hvis man derimod løber, tager det \(\frac{6\ km}{12\ km/t} = 0,5\ time\). Indsætter vi det i den første formel, og igen \(6\ km = 6000\ m\) i den anden, får vi den samlede mængde vand til at være

\(O(0,5) + F(6000) =\)
\(0,2\ cm \cdot 477\ cm^2 \cdot 0,5 + \frac{1,7\ m \cdot 0,3725\ m \cdot 6000\ m}{1,08} =\)
\(3565,8\ ml\)

Der er altså en lille fordel ved at løbe, da den samlede tid i regnvejret er mindre, og den mængde regn man får oppefra derfor er mindre.

Cykling

Hvad, hvis man i stedet cyklede. Ud fra samme princip om at gøre kroppen kasseformet laver vi denne gang en kasse med andre dimensioner, for at afspejle den foroverbøjede stilling man er i, når man cykler. Denne cykelkasse har dimensionerne \(109,8\ cm \cdot 37,25\ cm \cdot 51,6\ cm\) (højde, bredde, dybde).

regn cykel

Her er det allerede tydeligt, at den mængde vand, der rammer én oppefra er meget højere - de fleste der har cyklet i regnvejr, kan nok godt nikke genkendende til at være drivvåd på ryggen. De to formler for udregning af vand fungerer på samme måde, bare med nye dimmensioner, og er:

\(O(t) = 0,2\ cm \cdot 1922,1\ cm^2 \cdot t\)
\(F(a) = \frac{1,098\ m \cdot 0,3725\ m \cdot a}{1,08}\)

Hvis vi antager at man cykler 20 km/t og igen skal til middag 6 km væk, så tager det \(\frac{6\ km}{20\ km/t} = 0,3\ time = 18\ minutter\). Vi indsætter det i cykelformlerne og får

\(O(0,3) + F(6000) =\)
\(0,2\ cm \cdot 1922,1\ cm^2 \cdot 0,3 +  \frac{1,098\ m \cdot 0,3725\ m \cdot 6000\ m}{1,08} =\)
\(2387,6\ ml\)

Det kan altså klart bedst betale sig at cykle, frem for at gå eller løbe. Særligt over længere afstande, hvor den øgede mængde vand oppefra opvejes af, at man får mindre vand på kroppen forfra.

Kilder

http://www.arts.ac.uk/media/arts/research/documents/SizeUK-Results-Full.pdf

https://en.wikipedia.org/wiki/Rain

Har du et spørgsmål, du vil stille om Regnvejr? Skriv det i Webmatematiks forum!
Har du en kommentar til indholdet på denne side? Send os en mail!