Tophastighed for en kastanje

Det er blevet efterår, og det betyder at der er fuld af nedfaldne kastanjer under kastanjetræerne. Hvis man har prøvet at få en kastanje i hovedet, så ved man godt, at det gør ondt. Men hvor hurtigt kan en kastanje falde ned fra et træ? Det har vi regnet på her, og kommer frem til, at den maksimale fart en kastanje kan falde med, er lige omkring 120 km/t! Men en mere realistisk hastighed kastanjen rammer jorden med, ligger i omegnen af 60 km/t, hvilket også er ret hurtigt - hurtigere end bilerne må køre inde i en by.

Sådan har vi regnet det ud

Når en kastanje falder gennem luften, bliver den påvirket af tyngdekraften, der trækker den ned mod jorden. Tyngdekraften er givet ved:

$$ F_t=m\cdot g $$

Hvor m er  kastanjens masse, og g er tyngdeaccelerationen, som i Danmark er 9,82 m/s². Kastanjen bliver også påvirket af en luftmodstand, som virker modsat kastanjens hastighed, altså væk fra jorden. Luftmodstanden er givet ved:

$$ F_l = - \frac{1}{2} \cdot \rho \cdot A \cdot c_w \cdot v^2 $$

Her er \( \rho \) luftens densitet, som ved 15°C er 1,225 kg/m³. A er det største tværsnitsareal af det faldende objekt, v er hastigheden, og c_w er en dimensionsløs formfaktor, der altså varierer med objektets form. For en kugle, som vi approksimerer kastanjen til at være, er c_w = 0.4.

De to kræfter virker modsatrettet, så den resulterende kraft er givet ved:

$$ F_{res} = m\cdot g - \frac{1}{2} \cdot \rho \cdot A \cdot c_w \cdot v^2 $$

Når den resulterende kraft er 0, har man opnået konstant hastighed. Derfor vil hastigheden kun blive ved med at stige, indtil luftmodstanden er lige så stor som tyngdekraften. På det tidspunkt har kastanjen opnået sin maksimale hastighed. Ud fra dette kan vi finde ud af, hvad denne hastighed er:

$$ m\cdot g = \frac{1}{2} \cdot \rho \cdot A \cdot c_w \cdot v_{max}^2 \Leftrightarrow v_{max} = \sqrt{\frac{2mg}{\rho A c_w}} $$

Nu mangler vi blot kastanjens masse og tværsnitsareal. Vi har været ude at samme nogle kastanjer, der stadig havde deres skal på, da det er sådan de ser ud når de falder fra træet. Ud fra målinger af vægt og diameter på syv kastanjer, kan vi bestemme et gennemsnit:

$$ m_{gns.} = \frac{263 \text{g}}{7} = 37,6 \text{g} $$

$$ d_{gns.} = \frac{(3+4+4+4,5+4,5+4,5+5) \text{cm}}{7} = 4,2 \text{cm} \Leftrightarrow r = 2,1 \text{cm} $$

Tværsnitsarealet bliver så:

$$ A = \pi \cdot r^2 = \pi \cdot (2,1 \text{cm})^2 = 13,8 \mathrm{cm^2} = 0,00138 \mathrm{m^2} $$

Alle størrelser i ligningen er nu kendte, og vi kan beregne den maksimale hastighed:

$$v_{max} = \sqrt{\frac{2mg}{\rho A c_w}} = \sqrt{ \frac{2\cdot 0,0376\text{kg}\cdot 9,82 \mathrm{\frac{m}{s^2}} }{1,225\mathrm{\frac{kg}{m^3}} \cdot 0,00138 \text{kg} \cdot 0,4} } = 32,98 \mathrm{\frac{m}{s}} $$

Omregningsfaktoren fra m/s til km/t er 3,6, så kastanjens tophastighed er \(3,6 \cdot 32,98\mathrm{\frac{m}{s}} = 118,7 \mathrm{\frac{km}{t}} \).

Nu har vi fundet den teoretiske tophastighed, hvis kastanjen bare fik lov at falde uendeligt langt. Men det er værd at tjekke, hvor langt kastanjen egentlig skal falde, før den kommer tæt på denne hastighed. Det kan vi gøre med formlen for hastigheden ved frit fald med luftmodstand:

$$ v(x) = \sqrt{ \frac{2mg}{\rho A c_w} \cdot \big(1- \mathrm{e}^{-\frac{\rho c_w A}{m}\cdot x} \big) } $$

Her får vi hastigheden ud i m/s. Hvis vi ganger omregningsfaktoren 3,6 på, kan vi indsætte afstanden x i meter, og få hastigheden ud i km/t. Nu ser ligningen således ud: 

$$ v(x) = 3,6\cdot \sqrt{ \frac{2mg}{\rho A c_w} \cdot \big(1- \mathrm{e}^{-\frac{\rho c_w A}{m}\cdot x} \big) } $$

Denne funktion kan plottes i Maple, og resultatet ses nedenfor.

På grafen kan man se, at hastigheden starter med at vokse meget hurtigt, og så flader kurven ud ved en hastighed på de 118 km/t, vi kom frem til før. Kurven viser, at efter 60 meters fald, overstiger hastigheden 100 km/t, og ved omkring 200 meters fald flader kurven ud. Et kastanjetræ bliver dog kun omkring 30 meter højt, så en kastanje får kun lov at falde så langt, hvis træet står på en skrænt, eller hvis den bliver kastet ud fra noget højt. Mere realistiske faldlængder ville derfor være 5m, 15m eller 30m. For disse længder bliver hastighederne:

$$ v(5\text{m}) = 34,9 \mathrm{\frac{km}{t}} $$

$$ v(15\text{m}) = 57,8 \mathrm{\frac{km}{t}} $$

$$ v(30\text{m}) = 76,8 \mathrm{\frac{km}{t}} $$

Hvis du får en kastanje i hovedet, vil den altså højst sandsynligt ramme dig med omkring 35-75 km/t. 

Hvis du synes det er sjovt at regne med kastanjer, har vi tidligere skrevet om, hvor mange kastanjer der skal falde, for at man kan oplade en mobiltelefon. Artiklen kan du læse her.